東京物理学物語

自分の頭の中を整理するために勉強したことを書いてゆく

Geodesic そして 指数写像,正規座標

General relativity

Waldと並行して,純粋に微分幾何学を読んでいる。勉強のペースはかなりゆっくりだけど,多様体の復習もかねて最近では「逆関数定理」「陰関数定理」も復習した。ちなみに読んでいる本は

「大学数学の世界①　微分幾何学　今野宏」

だ。しかもまだ7ページ目。しかし今回の勉強のテーマは焦らずじっくりと、であるから微分幾何学もまたじっくりと1つずつ証明を追って具体例も考えながら読んでいこうと思う。今年度中にRiemann幾何学の章に入れたら御の字なんじゃないか？それはゆっくり過ぎる？

秋も深まる今日この頃、大学の課題もおろそかにして専らWaldと微分幾何学にはまっている。Waldは現在section3.3の途中。「測地線の話だろ、余裕余裕」とか思っていたらやられた。Riemannian normal coordinate(正規座標)がわからない。確かこの座標の構成の仕方は次のような感じ。

  • 点 p \in M を取ってきて、この点における接空間 V_p を考える。さらに T^a \in V_p を任意に取ってくる。
  • p と T^a を初期値とするようなM上の測地線 \gamma : \mathbb{R} \to M が存在するのでこの測地線について考える。なお、このとき測地線のパラメータとしてアフィンパラメータをとっておく。
  • T^a \in V_p に対して \gamma (1) \in M を対応させる写像を考える。これを指数写像と言い、Exp: V_p \to M という写像である。
  • 指数写像の逆写像を考えることができる。さらに V_p はn次元ベクトル空間なので1つ基底を取れば \mathbb{R}^n と同一視できる。
  • したがって指数写像の逆写像を考えることで点p近傍の座標を構成することができる。これを正規座標という。

という具合だったと思う。数学的にはもっと細かな議論が必要である。連続性とか、本当に同相写像なのか、とか、そもそも逆写像は存在しているのか、などなど。で、僕もそのあたりは気になるのでここはキッチリ勉強しようと思う。それから正規座標を用いればクリストッフェル記号が0になるらしい。そうらしいのだけれどまだよくわかっていない。具体的な多様体を考えてそこに正規座標を構成するという一連の流れを自力でやってみないと気が済まない。球面 S^2 でやろうと思ったんだけどそもそもクリストッフェル記号ってどう決まってくるんだ…？でもきっと dl^2 = d\theta ^2 + \sin ^2  \theta d\phi ^2 に関係してくるよな。っていうかこれは計量になるよな…。じゃあそもそもこの表式は何に基づいて計算されているんだろうか。出発は dl^2 = dx^2 + dy^2 のはずなんだけど。もう少しよく考えよう。

それから今ちょうど読んでいるのがGaussian normal coordinate の部分。ここは本当にお手上げ。別の本かサイトも参照してもっと勉強します。何したいのかわからなかったから急にわからなくなった。まさか測地線でこんなにわけわからない話に出くわすとはな！ますます数学として微分幾何学モチベーションが上がった。…General relativity はどうしたんだよ、という声も聞こえてきそうだが。GRを数学的に、理論的に解明する研究って面白そうだなーとようやく思えてきた。これまでは、一般相対論→宇宙→やたらスケール大きい→現象もよくわからないしとにかくでかすぎる話、くらいにしか思っていなかったのでちょっと勉強するくらいでいいだろうな、と思っていた。でも最近考えが変わって普通に物理として楽しそうだと思ったし、数学もやり応えがありそうだし、新しい数学だって考えられるんじゃないか、とまで思っている。急に理論宇宙への興味が…！

今回はあまりWaldも読み進められていないのでここまで。もう少し測地線を勉強して出直してきます。それでは。