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東京物理学物語

自分の頭の中を整理するために勉強したことを書いてゆく

Geodesic そして 指数写像,正規座標

Waldと並行して,純粋に微分幾何学を読んでいる。勉強のペースはかなりゆっくりだけど,多様体の復習もかねて最近では「逆関数定理」「陰関数定理」も復習した。ちなみに読んでいる本は

「大学数学の世界① 微分幾何学 今野宏」

だ。しかもまだ7ページ目。しかし今回の勉強のテーマは焦らずじっくりと、であるから微分幾何学もまたじっくりと1つずつ証明を追って具体例も考えながら読んでいこうと思う。今年度中にRiemann幾何学の章に入れたら御の字なんじゃないか?それはゆっくり過ぎる?

秋も深まる今日この頃、大学の課題もおろそかにして専らWaldと微分幾何学にはまっている。Waldは現在section3.3の途中。「測地線の話だろ、余裕余裕」とか思っていたらやられた。Riemannian normal coordinate(正規座標)がわからない。確かこの座標の構成の仕方は次のような感じ。

  •  p \in M を取ってきて、この点における接空間  V_p を考える。さらに  T^a \in V_p を任意に取ってくる。
  •  p T^a を初期値とするようなM上の測地線 \gamma : \mathbb{R} \to M が存在するのでこの測地線について考える。なお、このとき測地線のパラメータとしてアフィンパラメータをとっておく。
  • T^a \in V_p に対して \gamma (1) \in M を対応させる写像を考える。これを指数写像と言い、Exp: V_p \to M という写像である。
  • 指数写像の逆写像を考えることができる。さらに V_p はn次元ベクトル空間なので1つ基底を取れば \mathbb{R}^n と同一視できる。
  • したがって指数写像の逆写像を考えることで点p近傍の座標を構成することができる。これを正規座標という。

という具合だったと思う。数学的にはもっと細かな議論が必要である。連続性とか、本当に同相写像なのか、とか、そもそも逆写像は存在しているのか、などなど。で、僕もそのあたりは気になるのでここはキッチリ勉強しようと思う。それから正規座標を用いればクリストッフェル記号が0になるらしい。そうらしいのだけれどまだよくわかっていない。具体的な多様体を考えてそこに正規座標を構成するという一連の流れを自力でやってみないと気が済まない。球面 S^2 でやろうと思ったんだけどそもそもクリストッフェル記号ってどう決まってくるんだ…?でもきっと dl^2 = d\theta ^2 + \sin ^2  \theta d\phi ^2 に関係してくるよな。っていうかこれは計量になるよな…。じゃあそもそもこの表式は何に基づいて計算されているんだろうか。出発は dl^2 = dx^2 + dy^2 のはずなんだけど。もう少しよく考えよう。

それから今ちょうど読んでいるのがGaussian normal coordinate の部分。ここは本当にお手上げ。別の本かサイトも参照してもっと勉強します。何したいのかわからなかったから急にわからなくなった。まさか測地線でこんなにわけわからない話に出くわすとはな!ますます数学として微分幾何学モチベーションが上がった。…General relativity はどうしたんだよ、という声も聞こえてきそうだが。GRを数学的に、理論的に解明する研究って面白そうだなーとようやく思えてきた。これまでは、一般相対論→宇宙→やたらスケール大きい→現象もよくわからないしとにかくでかすぎる話、くらいにしか思っていなかったのでちょっと勉強するくらいでいいだろうな、と思っていた。でも最近考えが変わって普通に物理として楽しそうだと思ったし、数学もやり応えがありそうだし、新しい数学だって考えられるんじゃないか、とまで思っている。急に理論宇宙への興味が…!

今回はあまりWaldも読み進められていないのでここまで。もう少し測地線を勉強して出直してきます。それでは。

Wald, Section3-1,3-2まとめてみる

秋になり、気温の変化が激しい。昨日はあんなに冷えたのに今日は意外と暑いぞ、なんて日の連続だ。それに伴って、なんと体調を崩してしまった私。WaldもPeskinもその他の勉強すべて一旦中止…。風邪が長引くことを恐れてひたすら寝込んだ。体はだるいが寝付けない時間もあって、そんな時に自分のやりたいことができないもどかしさっていうのはなかなかに辛いものがある。

さて、肉体的に苦戦しながらもWaldのchapter3の前半を一応読んでみた。section3.1ではderivative operatorを導入。そこではdual vector field {\omega_{ab}} に対する2種類のderivative operator の作用の仕方の違いを考察することで新たなtensor field C_{ab}^{c} というものを導入した。2つのderivative operator に付随して定義される  tensor field ととらえてよいのだろうか。2つのderivative operator のうち、片方がordinary derivative operator  \partial _{a} である場合にこの C_{ab}^{c} \Gamma _{ab}^{c} と書かれるようだ。この記号は見たことあるぞ。クリストッフェル記号とか呼ばれていたな…。C_{ab}^{c} については接続係数と呼べばよいのだろうか。このあと、接続係数(?)の性質だったり、higher rank の tensor field について考察したり、ということをしている。

ここまで読んで思ったこと。C_{ab}^{c}tensor ではない、という風に僕は教わった。内山さんの本かシュッツか、どっちかに書いてあった。けれどもここでははっきりと"tensor field"と言っているではないか。どうなんだろう。と、思っていたら気になる文章があった。

 \Gamma _{ab}^{c} は通常のテンソルの変換則に従わない.

これまで読んでいた本ではテンソルを変換則で定義していた。そうなるとその変換則に従わない量はテンソルとは呼べない。しかしここでは変換則で定義していないため、 \Gamma _{ab}^{c}テンソルと呼べるようだ。定義は大事。とりあえずやっぱり \Gamma _{ab}^{c} は少し他とは性質が違うみたいだ。この性質の違いが等価原理に大きくかかわってくると信じて先を読み進めよう。

このあとはさらに平行移動の定義をしている。定義をしているのだが、実はここがまだ曖昧な理解だ。

曲線C上にあるベクトル場v^{a} があってそれが平行移動である、とは

t^{a} \nabla _{a} v^{b} = 0

を満たすこと。ただしt^{a}Cの接ベクトル。

と書いてある。(ひょっとしたら訳し間違えているかも)定義にある条件を満たせば、このベクトル場は曲線に沿って平行移動している、という言い方で正しいのか?ここに書けるほど平行移動をちゃんと飲み込めていないことがわかった。とにもかくにも平行移動が与えられると今度は、各点ごとに与えられた vector space をつなぎ合わせることができるそうだ。これこそが接続(connection)。そして接続は曲線に依存した概念である、ということだ。つまり、共変微分あるいは \nabla _{a}を与えることと平行移動を定義することは同じ事で、平行移動を定義できれば接続という概念も生まれる、ということだろう。さらに、そこにmetric g_{ab}でもあろうものなら \nabla _{a}は一意に決まってくるのだ。その証明も載っていた。(といっても僕はこの証明はあまりしっくりこなかった)

Section3.2では curvature の概念が登場する。いよいよって感じだ。しかもEinstein tensor まで登場するから一般相対論をやってる感が出てくる。とは言ってもこの段階で出てくるくらいだから実は Einstein tensor って非常に数学的な導入なんだな、と思った。

さて、曲率(curvature)が何なのか、というとつまりは考えている空間がそもそもどれだけ曲がっているか、ということを表しているように思える。空間が曲がっているか調べるためにはどうすればいいか?という問いの答えとしてここでは閉曲線を使った議論をしている。まずは平らな面に閉曲線を描く。どんな線でもいい。この上で適当なベクトルを平行移動させる。ほら出た、平行移動だ。当たり前であるが一周して戻ってきたベクトルは始めのベクトルと一致する。しかし、これは平らな面の上だからできる芸当なのだ。曲がった面の上で同じことをやろうとすると一周したベクトルは初めのベクトルと一致しない。このように閉曲線上でベクトルをグルっとさせるだけで空間が曲がっているか曲がっていないかということを調べることができる。グルっと一周させたときの「元のベクトルとの一致のしなさ」として曲率を定義する。定義としては次のようになる。

Riemann curvature tensor  R_{abc}^{d}とは

(\nabla_{a} \nabla_{b} - \nabla_{b} \nabla_{a}) \omega_{c} = R_{abc}^{d} \omega_{d}

というtensor

そして、曲率テンソルの様々な性質を調べた後Ricchi tensor や scalar curvature などを定義する。曲率テンソルの性質の一つにBianchi 恒等式というものがあって、これを2回縮約するとEinstein tensor が自然と現れる。ちなみにEinstein tensor G_{ab}

G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2} R g_{ab}

で定義されるテンソルである。chapter3.2はここまで。

疑問点はそんなにないのだけれど、まだ直感的なイメージができていないかな。それから途中で出てきたWeyl tensor は謎。意味が分からない。Appendixに書いてあるらしいからそこは丁寧に読もう。

着実に数学的準備が出来上がりつつある感覚だ。このあと測地線などの話をしていよいよRelativityへ…!わくわくする。今一番モチベーションが高いのはWaldかもしれないというくらいわくわくする。でもあんまりわくわくしすぎても体に悪い。何せ今僕は体調不良なのだ。今はとにかく体調管理を第一に過ごそう。意外とそうやって過ごした方が無茶をするより勉強も捗ったりするし。最後の結論はWaldには関係なかったけれど大事なことだ。体には気を付けよう。今日はここまで。 

 

 

 

Wald まだまだ数学の話。

今日はいい天気だった。むしろ暑いくらいだった。翌日のゼミ用に部屋を借りに大学の事務局(?)へ行ったのだけれど、それがちょうどお昼頃だったものだからキャンパス移動用のバスを待っている間は汗を搔くくらい暑かった。秋はこんな風に暑い日もあるし、急に冷える日もあるから体調管理に気を付けなければいけない。

最近、自分の頭の中のモードとしては数学よりな気がする。自分のイメージとして、考え方が物理よりな時と数学よりな時がある気がする。単にその時の興味のベクトルがどこを向いているか、ということなのかもしれないけど。そういう気分だったので、今日はとても楽しくWaldを読めた。でもサクサク進んだ、ということではないかな。まだまだ数学の話が続いているのでGeneral relativity の話はまだまだ。今日読んだ内容はderivative operator について。5つの性質を満たす写像として定義されていた。

  1. 線形写像であること
  2. Leibnitz則を満たすこと
  3. 縮約と可換な操作であること
  4. scalar function に対しては、vector と dericative operator の縮約が方向微分と一致すること
  5. torsion free であること。

確かこんな条件だった気がする。条件4は合っているか不安。どうしてtensor field の微分を上のような性質で定義するのだろうか。この定義はtensor field が与えられるだけで定義ができるという意味で便利らしい。この性質を満たす写像微分なのだと言われればそうなのだけれど、どうしてこの性質に注目したのか、という気持ちがまだわかっていない。そこには様々な考察があるはずだ。多分そのあたりが不明瞭なので、読んでいて難しく感じているのだと思う。それから、Chapter2で定義されて量のそもそもの定義を早速忘れ始めている。(おいおい…)この写像ってどこからどこへの写像だっけ?とかこの性質って当たり前だっけ?とかちょくちょく引っかかるところがあって、大体前を読み返すか落ち着いて考えるかすれば解決するのだけれど、あまりペース良く読み進められない感がある。しばらくはこういう作業をしていくうちに様々な定義も身に染みてくるだろうと期待しながら読んでおこう。

ここから先は、derivative operator の性質をもっと考察しているように思えた。(まだ読んでいないので想像)多分、定義にある5つの条件からderivative operator がある程度決まってきてしまう、みたいな話をしたいんじゃないだろうか。途中にあった”How unique are tha derivative operators?"というのはそういうことかな、と思った。これらの条件だけでどれだけ決まってきてしまうのか?と。条件4からはscalar function に対して微分という操作はすべて同じ作用をすることが言える。それでは1階の共変ベクトル場であったらどうだろうか。

 \nabla _{a} \omega_{b} という量に注目してみる。別のderivatibe operator  \tilde{\nabla} _{a}を使って、 \tilde{\nabla} _{a} \omega_{b} - \nabla_{a} \omega_{b} という量について考察する。なんとこの量は点pの値のみに依存するのだという。 \omega_{b} ' として、点pの値が同じものを改めて取ってきても値が変わらないのだ。これがどれだけ凄いことなのか、逆にどれだけ当たり前のことなのかということまでわかっていないのだが、おそらくderivative operator の定義から決まってしまう性質なのだろう。めちゃくちゃ局所的な性質と言えるのではないだろうか。そして、そうだとしたら \nabla_{a} \omega_{b}という量自体は点pに対してどのように依存するのか?それから \nabla \tilde{\nabla}の作用の仕方の違いは?この先の議論が気になってきたぞ。

そんな想像もしながらこれからも相変わらずWaldを読んでいこう。とにかくじっくり、焦らず。(ただ数学の勉強は別に並行して行いつつ。)秋が冬になることには多様体上で数式を自由に扱えるようになっているだろうか。まだまだ先は長い。

Chapter 3 に挑む

場の量子論をやっていて先日場の変換について疑問を抱いた。ローレンツ変換に対して場はどのように変換されるべきか…?いやぁ、場の量子論というものは難しい、なんて思っていた。

そもそも、「場」というもの自体は電磁気学でも出ているし、普通の量子力学にしても波動関数は「場」なのではないだろうか。ということは、今悩んでいる問題は別に場の量子論固有の問題ではない気がしてきた。でも、どうして今疑問に思っているのだろうか。電磁場や波動関数の場を考えるときはどうしてその変換性に目を向けなかったのだろう。僕の頭の中で疑問に思っている点の一つである。答えを知っている人がいたらヒントだけ教えてほしい。例えば、「〇〇を勉強するといいよ」とかそんなアドバイスが欲しい。

どんどん勉強したいことが増えていく。調子に乗ってあれもこれもと手を出していったらどれも中途半端になりそうなのでここで堪えなければ。今一番手を出したいのはやっぱりLie群。その次に量子統計力学かな…。いやいや、今は今勉強していることに集中しよう。そうやって気を散らしてこれまでも勉強した内容をモノにできなかったではないか...!

さて、話を場の量子論に戻そうと思う。どうやら、場の変換性から何かを探っているみたいだという雰囲気だけは伝わる。しかしそこにある深い物理はまだわからない。Chapter3.2を読んではみたものの訳が分からないというのが正直なところ。'Lorentz transformation のn次元表現を探す'の意味もよくわからないし、Dirac algebra の導入も強引に感じた。表現論というものをわかっていないから混乱するのだろうか。3次元回転の2次元表現とか訳わからないな。感覚的には気持ち悪い。表現論をちゃんとやれば納得できるかな。

場の量子論・・・!

今日は大学で勉強していたらひどい雨に襲われた。嫌だなあ。大学に残ってそのまま勉強しようと思ってリュックの中身を見る。こんなこともあろうかとPeskinをちゃんと持ってるぞ。よしよし...。

と油断していたらなんと紙がない。ノートはあるけどこれらは別用のノートだし書けない。嗚呼、仕方ない雨に濡れながら帰ろうか。

そして帰宅。Peskinに取り組む。今日はChapter3の続き。ちょうど4次元時空での場(scalar field に限らず)がLorentz transformation でどのように変換されるか、という話から始まる。フムフム...。

とりあえずわからなかった。というのも、数学的に書かれているようでそうではない書かれ方な気がする。3次元回転群との類推で話が進んだりする部分もあってそこがわかりにくかった。Lie群とか表現論の話が深くかかわっているみたいなので頃合いを見てその辺も数学として勉強したい。Lie群については一朝一夕でマスターはできないだろうからやるならしっかりがっつり取り組みたい。教科書は何がいいかな。どうせやるならキッチリ書かれた本に苦労して取り組みたいのでそういう本を探そうか。

とにかく今は「場の量子論 中西のぼる」の2章に書かれていた「Poincare群の表現」あたりを参考にしながら雰囲気理解した。ふーん、そうなんだ、という気持ち。表現の定義もあまりよく呑み込めていない気がするのでちゃんと勉強しなければなあ。そのうちに、なんて悠長なことも言ってられないし。

実は今、「群論入門(雪江)」で群論に入門しようとしているので、それが終わったらLie群に行こうかな、と思っている。(そのころには研究室配属されているだろうな。)なんとなく群論への気運が高まっている今日この頃、という感じがある。群論の威力を感じるのはこれからだろう。何せ僕はまだ入門すらままならないのだから、群論のすごさを理解するにはまだ時間がかかる。

一刻も早く理解したいので、群論モチベーションをしばらく高く持とうと思う。物理に使える群論の教科書でいいのがあったら教えてほしい。なるべく定義とか証明とかキッチリ書かれたものの方が性に合うのでそんなものをよろしくお願いします。

と、まあWaldを読んでいくのだけども

さて、Waldを手に取る。なかなかのボリューム。

以前に「多様体の基礎」を読むだけ読んで証明だけ追ったことはあったので、多様体上でどういう数学をするのか、くらいは知っていた。そんな訳でChapter2は読みやすかった。ただAbstruct index notation にはもうちょっと慣れないといけないかも。要はスロットを明示することで基底とか成分を用いずに縮約も外積もきれいに表せるってことなんだろうけど、いちいち書くのは面倒・・・。Abstruct index notation を使いつつ基底を書くのが一番面倒だしちょっと混乱する。とはいえ、そこまで数学にはまだ困ってない。「多様体の基礎」を流し読みしていた段階では気付かなかったことにも気付けた気がする。

今週はChapter3の前半を読んでいこうと思う。曲率、とかだったかな。「多様体の基礎」には(多分)なかった話だからどうなるんだろう。楽しみ、本当に。

こういう風にキッチリと数学として定義された道具を使って物理をやっていくっていうのは「数理物理学」と呼ばれるのだろうか。それには賛否両論あるだろうけど、僕はそういうのもいいよね、くらいの立場だ。「実験結果を説明できてこそ物理だ」とか「物理は帰納の学問だから定義から演繹しても仕方ない」とかそういう意見を持つ人もいると思う。そういうのを聞くと「それもそうだ」と簡単に思ってしまう。Waldを読み進めていくうちに、「数学的にキッチリ書いてある!サイコー!」とか思ったりするのだろうか。数学と物理の関係性に対する見方もWaldを読むことで変わってきそうだ。

こういうこと書いていたらモチベーション上がってきたぞ。ちゃんと理解できるようにじっくり、じっくり、読んでみる。

はじめまして

ブログを始めた。前々からやってみたいとは思っていたものの、特に発信する内容もないし始めなかった。日常のなんてことない内容はtwitterで足りる。

そこで、「勉強した内容のまとめ」としてブログを使ってみたらどうか、ということを思った。実際そういう風に使っている人は一定数いるように思える。

それに、物理なんかを勉強していると頭の中を整理したくなるんだよなあ。別にノートを作ってそこに書いていけばいいんだけど、実際に書きたいことやまとめたいことっていうのはノートを作るまでもない量だったりするからそこが微妙な所。

あとしょうもない動機としては、

「自分はこんなにかっこいい学問やってるんだぜ!」

っていうのを誰でもいいからわかってもらいたい。「うわーすごい。」って言ってもらいたい。本当、「うわーすごい。」くらいでいいから。

もっと言うと、物理って本当に楽しいことをちょっとでも伝えたい。僕もその片鱗をやっと見た、くらいの駆け出し物理学徒な訳だけどそれでも楽しいからその思いが少しでも伝わればいいし、共感できればいいと思ってる。

書く内容は結構ばらばらになるかもしれないけど、予定としては

  • 一般相対論「General Relativity , Robert M.Wald」
  • 場の量子論「An Introduction To Quantum Field Theory, Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder」

について触れていくつもり。特に場の量子論はあんまり勉強していない部分だから楽しみ。

そんな訳で、こういった物理の本を読んでいく最中に思ってことや気付いたことを書いていきたいと思う。